??  永磁直流電機在控制中，經(jīng)常要用到各種坐標變換，同時也會碰到到種電感，如：相電感、線電感、直軸電感、交軸電感、相間互感等，特別是電感和坐標變換結合后，就有不少人容易混淆迷惑。下面我們用圖文及公式方式來理解直流電機電感其中的關系。

  電感：1824年，奧斯特發(fā)現(xiàn)了電流效應，在通電導體周圍的磁針會發(fā)生偏轉，也就是電生磁，后來，法拉第和亨利發(fā)現(xiàn)了磁也能生電，在移動的磁場能會在導體中感應出電流，這就是現(xiàn)在所說的電磁感應，數(shù)學工程式為：

  e：感應電壓

  d_ф/d_t：磁通的變化率（單位Wb/s） 

  法拉第發(fā)表電磁感應論文不久，楞次發(fā)現(xiàn)了決定感應電流方向的規(guī)律，也就是楞次定律：感應電流的磁場總要阻礙引起感應電流的磁通量的變化，所以完整數(shù)學公式為：

  直流電機中控制中的自感與互感

  在安倍定律中：磁場產(chǎn)生的根本原因是電流（可以是導體中的電流，也可以是永磁體中的電流）。如下圖所示，一個線圈通電后，就會產(chǎn)生磁場

  線圈本身就處于自身產(chǎn)生的磁場中，也就意味著線圈中也會產(chǎn)生磁通磁通，這個量對于我們來說不直觀，也不好測量，既然磁通是由電流產(chǎn)生的那我們可以借助電流來表示，所以電感的定義是：

  單位是Henry（亨利），一位美國物理學家，他其實和法拉第幾乎同時獨立的發(fā)現(xiàn)了電磁感應現(xiàn)象，只不過法拉第更早的發(fā)表了成果，就贏得了冠名權。

  我們通常說的電感，嚴格來說應該叫自感，即線圈自己對自己產(chǎn)生磁通的能力。

  既然有自感，就會有互感，即兩個線圈之間互相產(chǎn)生磁通的能力。

  在直流電機中，電感非常重要，它表達了在某個特定機構中電流產(chǎn)生的磁場能力，電感確定了，我們就能很容易去研究磁場的性質。

  什么是磁動勢？

  電感的定義是由磁通來定義了，要計算線圈的電感，先就要計算線圈通電后產(chǎn)生的磁場，由此來計算磁鏈，如，直流電機內磁路為線性，鐵芯中的磁滯和渦流損耗可以忽略、氣隙磁場的搞次諧波也可忽略，直流電機的定、轉子表面光滑，齒、槽影響可以用卡式系數(shù)修正，直軸和交軸氣隙可以不等，但是氣隙的比磁導可以用平均值加二次諧波來表示

  上圖為直流電機定子槽內兩極整距線圈的情況， ⊙為流出，?為流入。根據(jù)安培環(huán)路定理，其磁動勢分布圖為：

  磁動勢的幅值為

  對方波進行傅里葉級數(shù)分析，可知其可由1、3、5，...等奇次諧波組成，其中1次諧波也稱之為基波，其幅值為：

  上面分析的是一對極情況，現(xiàn)在假設是p對極，每相繞組總匝數(shù)為Nph，則A相基波幅值為：

  上面分析時繞組都認為是整距，且每極每相只有一個槽，實際電機很少這種情況，大多每極下面是多槽的，而且還是短距：

  我們一般用一個繞組因數(shù)kω1來對基波磁動勢進行修正，其幅值為：

  直流電機的相電感與互感計算

  根據(jù)基波磁動勢的幅值，則其沿定子分布為：

  有了磁勢，如果能知道磁導（磁阻的倒數(shù)），那就能計算氣隙磁密了。對于表貼式直流電機而言，氣隙基本不變，因此磁導和直流電機轉子的位置沒有關系；但是對于直流電機而言，氣隙沿轉子圓周方向一直變換（變化周期是極對數(shù)的兩倍），因此磁導還和轉子位置相關。

  由于d_q軸是定義在直流轉子上的，因此我們可以通過d軸與A相繞組的夾角θ來表示轉子所在的位置。

  計算相電感

  氣隙比磁導為：

  λ(a)=λ_δ0+λ_δ2cos2(a+θ)

  式中因為氣隙長度變換周期是極對數(shù)的2倍，因此有個2次分量，而且當直流電機類型為內嵌式時， λ_δ2為負值，即d軸時磁阻最大，磁導最小。

  氣隙磁動勢和比磁導的相位關系為：

  則氣隙磁密為磁動勢乘以比磁導：

  B_δ(a)=F_a1cosa·(λ_δ0+λ_δ2cos2(a+θ))

  展開成諧波疊加的形式：

  所以基波氣隙磁密為：

  則A相繞組對應的磁鏈為：

  其中 L_σ為A相漏感，τ為極距，l 疊片長度，上式整理可得：

  進一步整理可得：

  所以A相自感為：

  即：

  換一種表達方式：

  可見，A相繞組的自感不是一個固定值，而是隨轉子的變換而變化。同理可得其他兩相自感為：

L_bb=L_s0+L_s2cos2(θ-2π/3)

L_cc=L_s0+L_s2cos2(θ+2π/3)

  計算相間互感

  由于B相繞組與A相繞組空間相差120°，其與自感方式基本相同，只需將積分區(qū)間由 [-π/2 π/2]修改為 [-π/2-2π/3 π/2-2π/3] ，即可以計算A相繞組電流產(chǎn)生的磁場在B相繞組中感應出的磁鏈，具體為：

  其中M_σ為互漏感，可以獲得A、B相互感為：

同理可獲得其他兩相的互感為：

  直流電機的自感和互感如下圖所示：

  如何計算dq軸電感？

  一般的直流電機都會用d_q軸電感表示，那么問題來了：d_q軸電感如何計算或測量？和相電感及互感有什么關系？d_q電感和坐標變換有什么關系？

  如何確定坐標轉換矩陣？

  算電感是為了算磁鏈，進而去計算磁場的某型性質，通過一系列公式，終于把三相繞組的自感和互感計算出來了。

  那磁鏈就可以計算：

  電感矩陣非常復雜：

  而且這個電感矩陣還隨之直流電機轉子的變化而變化著，可以找到一個相似矩陣，這個相似矩陣呢形式比較簡單，只有對角線上有數(shù)，而且這個相似矩陣能表征原矩陣的關鍵特征。矩陣對角化本質就是尋找矩陣空間的正交基以及在“基”上的投影系數(shù)。那電感矩陣是不是可以進行對角化呢？

  可以按照矩陣對角化的步驟：

  Del|L_s-λI|=0

  可以得到三個特征值，分別是：

  其中特征值λ₁對應的特征向量是：

  特征值λ₂對應的特征向量是：

  特征值 λ₃對應的特征向量是：

  則3個特征向量可以組成如下特征矩陣：

  這個特征矩陣就是克拉克變換和帕克變換的乘積，該特征矩陣的逆矩陣為：

  則電感矩陣的特征值可以用特征矩陣及其逆矩陣來計算，即

一般稱λ₁為L_d； λ₂為L_q；λ₃為L₀，即：

  d_q軸的電感就是三相繞組電感矩陣的特征值，d_q電感是一個常量了，cos2θ等變化因子消失了，也就是說通過對角化（坐標變換），原先較為復雜的電感矩陣對角化和常數(shù)化了，是定子的磁鏈方程解耦了！同時：d_q軸電感與變換矩陣無關，是電感矩陣的固有屬性。

  恒功率變換

  在坐標變換的時候，有的變換矩陣前面有個系數(shù)2/3 ，有的是  ，有的又沒有，這到底有什么關系呢？

  電壓矢量、電流矢量以及磁鏈矢量的關系為：

  電感對角畫的時候求取了變換矩陣C ，現(xiàn)在我們需要把電壓矢量、電流矢量以及磁鏈矢量也進行坐標變換：

  U_s=Cu’_s

  i_s=Ci’_s

  Ψ_s=CΨ’_s

  則變換后的功率為：

  P=i_s^Tu_s=(Ci’_s)^T(Cu’_s)=(i’_s)^T(C^TC)u’_s

  把C 和C^T 代入上式，就可以得到：

  不考慮零軸分量，發(fā)現(xiàn)變換后的功率是變換前的3/2倍！也就是說，變換前后功率不守恒了，那通過功率計算的轉矩就會不準確了，需要進行修正。

  把特征矩陣變?yōu)橄旅孢@個就可以做到功率守恒呢

  這個矩陣也是最常用的變換矩陣。

   dq軸電感測量方法

  通過建立直流電機模型，就要知道dq軸電感，兩種方式，一種是計算，一種是測量。計算比較容易，建立直流電機的有限元模型，現(xiàn)在的電磁計算軟件都有電感矩陣計算功能，計算出來求特征值就行了，有的軟件都能直接給出dq軸的電感。

  一般來說有2種方式來測電感，一種是通過三相繞組，一種是通過兩相繞組。

  用三相測dq軸電感

  將B、C兩相繞組并聯(lián)在一起，形成一個新的端點，用LCR表或其他裝置測量該端點和A相繞組端點之間的電感。

  此時因為：

  B相繞組和C相繞組并聯(lián)，具有相同的磁鏈，因此只計算B相繞組的磁鏈：

  則總的磁鏈為：

  Ψ=Ψ_a-Ψ_b

  則等效電感為：

  當θ=0時：

  當θ=±π/2時：

  可見，當直流電機轉子合適的位置測電感時，可以分別獲得d軸電感和q軸電感。但是這種方法有一個難點就是如何知道轉子此時的位置，一個近似的測法是緩慢的旋轉轉子，記下電感的最大值和最小值，此時：

  用兩相測dq軸電感

  用兩相繞組也可以直接測量，比如直接測量B、C兩相端部之間的電感。

  此時，B相繞組的磁鏈為：

  Ψ_b=(L_bb-L_bc)i

  B相繞組的磁鏈為：

  Ψ_c=(L_bc-L_cc)i

  總的磁鏈為：

  Ψ=Ψ_b-Ψ_c

  等效電感為： 

  同樣，緩慢的旋轉直流電機轉子，記下電感的最大值和最小值，此時：

  由于直流電機是比較復雜的電磁產(chǎn)品，里面電感構型比較復雜，既有自感又有互感，電感之間既有并聯(lián)，也有串聯(lián)，電感串聯(lián)和并聯(lián)的特性非常重要

  同向串聯(lián)電感

  上圖描述了兩個繞向相同的電感串聯(lián)時的模型，其中用黑點表示繞組電流流入方向，電流和磁鏈方向如圖所示。

  第一個電感產(chǎn)生的總磁鏈為：

  Ψ₁=L₁i₁+|M|i₂ 

  第二個電感中產(chǎn)生的總磁鏈為：

  Ψ₂=L₂i₂+|M|i₁

  兩個電感中的電流方向相同：

  i₁=i₂

  兩個電感等效成一個電感時，總的磁鏈為：

  Ψ=Ψ₁+Ψ₂=(L₁+L₂+2|M|)i

  則等效電感為：

  反向串聯(lián)電感

  此時兩繞組繞向相反，由于定義的電流正方向為繞組的流入方向，在此規(guī)定下，兩繞組的電流數(shù)值關系是：

  i₁=-i₂

  所以總的等效磁鏈為：

  Ψ=Ψ₁-Ψ₂=(L₁+L₂-2|M|)i

  則等效電感為：

  同向并聯(lián)電感

  兩個電感并聯(lián)時是比較反直覺的，下面我們就來仔細分析一下。上圖是繞向相同的兩個電感并聯(lián)時情況，此時，由基爾霍夫電壓定律每個電感兩端的電壓應該是一致的。即：

  對于第一個電感：

  對于第二個電感：

  由基爾霍夫電流定律：

  i=i₁+i₂

  整理可得：

  所以等效電感為：

  反向并聯(lián)電感

  兩電感方向繞向相反，則根據(jù)基爾霍夫電壓定律：

  由基爾霍夫電流定律：

  i=i₁-i₂

  可計算的等效電感為：

  簡單來說：

  當兩電感串聯(lián)時：L_s-L₁+L₂±2M ，繞向相同時為+，繞向相反時為-；

  ?當兩電感并聯(lián)時：，繞向相同時為+，繞向相反時為 -。