對(duì)于一個(gè)多極直流電機(jī)的磁場(chǎng)，可以借助通量公式安培環(huán)路定律還有磁化公式等，但是更加精細(xì)的分析學(xué)的方法來(lái)計(jì)算場(chǎng)會(huì)遇到幾何構(gòu)形上的困難和鐵芯非線性的表現(xiàn)(磁飽和)。使用有限差分法,有限元分析 ,邊界元法可以實(shí)現(xiàn)更加精確的建模分析。同樣地，精度不高的場(chǎng)合，做一些簡(jiǎn)化的近似方程也是十分有效的。

1.鐵芯磁導(dǎo)率  ,也就是說(shuō)，勵(lì)磁在電機(jī)鋼鐵部分是可以忽略不計(jì)的，；

2.氣隙 δ 在極靴下保持大小不變；

3.在氣隙處的漏磁是可以忽略的。

通過(guò)近似可以得到理想磁感強(qiáng)度曲線，它在氣隙中表現(xiàn)為近乎一個(gè)恒定磁感強(qiáng)度的純輻散場(chǎng)，并且在極缺口處沒(méi)有磁場(chǎng)。然而極的幾何形狀也會(huì)有影響，因?yàn)槎ㄗ訕O形狀變化，它與電樞轉(zhuǎn)子之間氣隙寬度也隨之變化，因而會(huì)有偏離理想的長(zhǎng)方形的部分。

為便于計(jì)算，可通過(guò)取原有函數(shù)的平均值乘以新的極寬，得到一個(gè)新的等效方形函數(shù)。這樣就需要引入一個(gè)極覆蓋率   ，一般極覆蓋率 極覆蓋率高，那么磁場(chǎng)會(huì)更多從極到極走，而非氣隙和轉(zhuǎn)子內(nèi)部

電樞的導(dǎo)體線圈回路會(huì)在一極上有一個(gè)磁通的積分，它是一個(gè)關(guān)于位置角 β 的函數(shù)，在 β=0 有最大磁通  ，這個(gè)角度即所謂的電刷的中性區(qū)，中心區(qū)雖然穿越線圈的磁通最大，但是磁通變化率為零，也就是導(dǎo)體正落在極缺口處。

為沿電機(jī)軸向的長(zhǎng)度，這就是每一極上的最大磁通。

二、感應(yīng)電壓和轉(zhuǎn)矩

當(dāng)導(dǎo)體在勵(lì)磁磁場(chǎng)中旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)有感應(yīng)電壓

2a為并聯(lián)支路數(shù)，則串聯(lián)的每電樞支路的線圈數(shù)為

K為換向片數(shù)，亦為線圈數(shù)S/2，在疊繞繞組中2a=2p，在波形繞組中 2a=2，乘上極覆蓋率，則在勵(lì)磁磁場(chǎng)中氣隙上有磁感強(qiáng)度  ，那么整個(gè)電樞支路總感應(yīng)電壓為

可得直流電機(jī)電壓和磁通和轉(zhuǎn)速的關(guān)系。若考察整個(gè)電樞電路的電壓，使用歐姆定律得到電樞端電壓方程

為電樞端電壓，為電樞總電阻，為電樞總電流

而在電樞導(dǎo)體(電樞線圈在槽內(nèi)通過(guò)磁場(chǎng)線的部分)上會(huì)流過(guò)支路電流  那么每根導(dǎo)體在氣隙磁場(chǎng)中會(huì)受到力

在磁極下，氣隙場(chǎng)中共有有效導(dǎo)體數(shù)量  ,那么所有導(dǎo)體受到的總的作用力和內(nèi)生轉(zhuǎn)矩為

可得直流電機(jī)內(nèi)生轉(zhuǎn)矩  和磁通和電樞總電流的關(guān)系。我們也可以把磁通公式改寫為由外部勵(lì)磁電流表示的形式

如果使用感應(yīng)公式來(lái)計(jì)算直徑上線圈磁通變化，也可以用來(lái)成功計(jì)算嵌入槽里的導(dǎo)體的感應(yīng)電壓和轉(zhuǎn)矩

就仿佛直接對(duì)在氣隙磁場(chǎng)中的導(dǎo)體計(jì)算。這樣說(shuō)雖然也會(huì)有正確的最終結(jié)果，但是整個(gè)物理建模過(guò)程卻是完全基于錯(cuò)誤的想象。到目前為止都假設(shè)電樞導(dǎo)體全位于氣隙磁場(chǎng)中，電樞繞組都是放在電樞疊片鐵芯的槽里，這樣一來(lái)，導(dǎo)體實(shí)際上都處在近乎無(wú)場(chǎng)的空間里，甚至還會(huì)被一個(gè)實(shí)際更小的槽漏磁場(chǎng)主導(dǎo)。

空載磁場(chǎng)(左)，電樞磁場(chǎng)(中)，合成磁場(chǎng)(右)

由圖可知，當(dāng)空載運(yùn)行的時(shí)候，因?yàn)殍F磁導(dǎo)率更大，磁場(chǎng)線繞開(kāi)銅芯從兩側(cè)鐵芯部分走。而當(dāng)只通電流給導(dǎo)線的時(shí)候，生成環(huán)形磁場(chǎng)，而部分磁場(chǎng)線會(huì)直接穿透線圈導(dǎo)體，而不從鐵芯里走，即漏磁。最后在合成磁場(chǎng)中，導(dǎo)體上只會(huì)有這部分漏磁通過(guò)。

如果想要更加準(zhǔn)確的建模，那么應(yīng)該根據(jù)上圖顯示的，實(shí)際作用力會(huì)主要應(yīng)該作用在槽壁和槽齒上，即所謂的邊界表面力。一般正確的感應(yīng)電壓計(jì)算方法是通過(guò)計(jì)算全部磁鏈變化，而力和轉(zhuǎn)矩的計(jì)算則通過(guò)磁場(chǎng)能量的變化，這往往會(huì)很復(fù)雜。

三、主要公式和等效電路圖

現(xiàn)在總結(jié)直流電動(dòng)機(jī)的主要公式

感應(yīng)電壓公式： 

內(nèi)生轉(zhuǎn)矩公式： 

勵(lì)磁磁通公式： 

電樞電壓公式： 

機(jī)械參數(shù)：

直流電機(jī)工作中，機(jī)械參數(shù)并不總是恒定，還會(huì)有其他擾動(dòng)和建模誤差成分致使根據(jù)幾個(gè)公式所繪制的圖像并非很高重合度，特別是一定區(qū)間以外，函數(shù)圖像往往會(huì)失去線性，更加彎曲和偏離，這是我當(dāng)時(shí)自己做的直流電機(jī)實(shí)驗(yàn)時(shí)經(jīng)常會(huì)發(fā)生的現(xiàn)象！根據(jù)電路公式，我們可以獲得對(duì)應(yīng)的直流電機(jī)等效電路圖。

當(dāng)氣隙磁通 由于定子鐵芯部分磁化到了磁飽和，它就會(huì)失去和勵(lì)磁電流 的線性關(guān)系。通過(guò)測(cè)量技術(shù)可獲得了在零電流電樞和額定轉(zhuǎn)數(shù)下的空載特性曲線，即通入電流和反向的感應(yīng)電流疊加對(duì)消，表現(xiàn)為無(wú)電流，也就是空載狀態(tài)。

紅線是出現(xiàn)了磁飽和現(xiàn)象的曲線，而藍(lán)色虛線是未磁飽和的曲線。

四、功率和損耗

現(xiàn)在計(jì)算一下所需電樞功率 

 是電阻的熱損耗功率，如果再考慮其他定子上的損耗起因，如電刷損耗，則有

電阻熱效應(yīng)作用在銅導(dǎo)線上就有了損耗熱功率，即所謂銅損 

電刷換向的時(shí)候也有一定的壓降，所以也有功率損耗

 為氣隙功率是通過(guò)氣隙從定子傳導(dǎo)到轉(zhuǎn)子上的功率

轉(zhuǎn)子在軸承上還有和空氣的機(jī)械摩擦，也會(huì)帶來(lái)?yè)p耗

其中實(shí)際有效輸出的機(jī)械功率為 ,這致使輸出轉(zhuǎn)矩

為氣隙功率中在電樞鐵芯上的損耗，也叫鐵損 ，它包括磁化過(guò)程中的磁滯損耗  ，它和交變頻率成正比；還有不斷交變的電磁場(chǎng)在鐵芯上感應(yīng)出來(lái)的渦流損耗 ，它和交變頻率的平方成正比。  則為轉(zhuǎn)子摩擦阻力的功率。

在換向的過(guò)程中，電樞電流突變的頻率為

總的效率為輸出有效機(jī)械功率和輸入全部電功率之比，總的電功率，除了輸入電樞的功率 ，外部勵(lì)磁電流的功率也要算輸入功率。因?yàn)樗袆?lì)磁功率最后全部轉(zhuǎn)化為電阻上的熱損耗功率，有

?

直流電機(jī)工作的基本公式，可以通過(guò)他們計(jì)算相應(yīng)的轉(zhuǎn)矩，電流電壓和工作轉(zhuǎn)速，功率的計(jì)算。直流電機(jī)換向帶來(lái)的壓降和損耗，機(jī)械換向結(jié)構(gòu)對(duì)于傳統(tǒng)意義上的有刷直流電機(jī)十分重要。